Александр Грязников родился в 1979 году в Павлодаре республики Казахстан. В 2002 году он окончил Омский госуниверситет и с этого года служит в органах прокуратуры. До 2005 года работал следователем, старшим следователем, а затем заместителем прокурора в Омской области. Кроме того, занимал должность прокурора. В 2014 году уже в Архангельской области стал старшим помощником прокурора по организации и контролю исполнения. С 2017 года по настоящее время возглавлял ведомство того же региона.
Грязников является почетным работником прокуратуры РФ. Он также награжден знаком отличия «За верность закону» III степени.